|
 مثال دوم: ميدانهاي كه كرل دارند ولي ديورژانس ندارند.
(سلونوئيدي و چرخشي)
كابلي با شعاع R، يك چگالي جريان محوري را حمل مي كند كه به طور خطي با شعاع افزايش مي يابد. قانون انتگرالي آمپر كه براي نشان دادن شدت ميدان مغناطيسي مرتبط به اين جريان استفاده مي شود به قرار زير است:
در چه جاهائي اين ميدان كرل دارد؟ جواب از قانون آمپر با صرفنظر از جريان جابجائي بر مي آيد. كرل روي چگالي جريان است و بنابر اين محدود به ناحيه r است، جائي كه تمايل دارد تا در محيط تجمع يابد. محاسبه ي كرل در مختصات استوانه اي بر اساس اين انتظار، به نتيجه زير مي رسد:
چگالي جريان و شدت ميدان مغناطيسي در شكل زير مصور شده اند. بر طبق نمايش "خطي" فاصله ي ميان خطوط ميدان، بيانگر شدت آنهاست. قرارداد مشابهي به چگالي جريان اعمال شده است. وقتي كه چگالي جرياني به سمت بيرون تصوير است با يك دايره-نقطه نمايش داده مي شود و هنگامي كه با يك دايره-ضربدر نمايش داده مي شود، بردار به سمت درون تصوير است. پيشنهاد مي شود كه بردارها مانند پيكان رسم شوند به همراه نمادهائي كه نماينده ي نوك و انتهاي آن هستند.
ميداني با تقارن استوانه اي كه سلونوئيدي است. عناصر حجمي Va و Vc توسط
تئوري گوس بكار گرفته شده اند تا نشان دهند چرا ميدان در هيچ جائي
ديورژانس ندارد. عناصر سطحي Sb و Sd توسط تئوري استوكس
بكار گرفته گرفته شده اند تا نشان دهند ميدان در خارج
استوانه غير چرخشي و در داخل استوانه داراي
كرل است.
آيا ميدان جهت يافته به صورت محوري، مي تواند با r تغيير كند (جهتي عمود بر Ф) و همچنان در ناحيه ي بيروني كرل نداشته باشد؟ انتگرال H پيرامون مسير بسته Cb در شكل فوق نشان مي دهد كه چگونه چنين چيزي مي تواند باشد. مسيرهاي Cb براي درست كردن ds به طور عمود بر H شكل گرفته اند، تا اينكه در آنجا H.ds=0 باشد. انتگرالها روي قسمتهاي '"Cb و "Cb يكديگر را خنثي مي كنند و اختلاف در طول اين قسمتها تنها براي جبران كاهش ميدان با شعاع است.
در ناحيه ي داخلي، انتگرالي مشابه قبل يقيناً داراي مقداري محدود است. روي مسير بسته ي Cd، ميدان در قسمت بيروني كه طول مسير بزرگتر است، بزرگتر است، بنابر اين روشن است كه كرل بايد محدود باشد. البته اين شكل ميدان به آساني حضور چگالي جريان را بازتاب مي كند.
ميدان در همه جا سلونوئيدي است. اين ادعا مي تواند با گرفتن ديورژانس از رابطه ي H بالا در هر ناحيه بررسي شود. در مختصات استوانه اي داريم:
حجم هاي Va و Vc كه به ترتيب در نواحي خارجي و داخلي تعريف شده اند، بوضوح نبود شار خالص از سطوحشان را اثبات مي كنند. اينكه خطوط ميدان در داخل اين حجمها در نواحي خاصي بدون سرچشمه گرفتن و ناپديد شدن مي چرخد نشاني از ميدان سلونوئيدي است.
مهم است كه ميان ميدانها "در بزرگي" (در عبارات قوانين انتگرالي نوشته شده براي حجم ها، سطوح و مسيرهاي با اندازه ي محدود) و "در كوچكي" (در عبارات قوانين ديفرانسيلي) تمايز قائل شويم. براي پايان اين قسمت از بحث، بعضي از سوالاتي كه ممكن است بوجود آيند را در نظر بگيريد.
ممكن است ميداني كه در هيچ نقطه اي روي يك سطح بسته ي S ديورژانس ندارد، يك شار خالص خروجي از آن سطح داشته باشد؟ مثال اول نشان داد كه جواب "بله" است. در هر نقطه روي سطح S كه ناحيه ي داخلي باردار را محاط مي كند، ديورژانس є0E صفر است. با اينحال انتگرال є0E.da روي چنين سطحي، يك مقدار محدود مي دهد كه در واقع بار خالص محاط شده است.
عنصر حجمي با جوانبي مماس بر خطوط ميدان
استفاده شده به منظور تفسير ديورژانس از سيستم مختصات ميدان
ديورژانس مي تواند به عنوان يك مشتق وزن دار در امتداد جهت ميدان يا در امتداد حجم استوانه ي فرضي ديده شود. در شكل فوق با حجمي به سطح مقطع δa و جوانبي موازي با ميدان є0E، ديورژانس به شكل زير است:
علامت منفي در عبارت دوم به اين دليل ايجاد شده است كه da و δa در سطح سمت چپ منفي هستند. با نوشتن در چنين فرمي، ديورژانس در اين فرم، مشتق є0E.δa نسبت به يك مختصات در جهت E است. مثالهائي از اين حجم، حجم هاي Va و Vc در مثال اول هستند. اينكه در اين مثال، ديورژانس در ناحيه ي بيروني صفر است معادل است با داشتن يك مشتق شعاعي از شار جابجائي є0E.δa، كه صفر است.
مشاهدات بيشتر، تمايز ميان ميدانهائي كه "در بزرگي" بوسيله ي قوانين انتگرالي و آنهائي كه "در كوچكي" با قوانين ديفرانسيلي تشريح مي شوند را نتيجه مي دهد. آيا ممكن است يك ميدان در بعضي مسيرهاي C گردش داشته باشد ولي همچنان در تمام نقاط C غير چرخشي باشد؟ مثال اخير نشان مي دهد كه جواب يك بار ديگر "بله" است. ميدان مغناطيسي بيروني، ناحيه ي عبور جريان مركزي را احاطه مي كند. بنابراين چرخشي در هر مسير كه ناحيه ي مركزي را احاطه كند خواهد داشت. با اينحال در تمام نقاط بيروني، كرل H صفر است.
ضرب خارجي دو بردار، بر هر دو بردار عمود است. آيا كرل يك بردار لزوماً بر آن بردار عمود است؟ ظاهراً مثال اخير مي گويد "بله". آنجائي كه چگالي جريان، كرل H و در جهت z است، در صورتيكه H در جهت افقي است. به هر حال اين بار بايد بگوئيم "نه". ما مي توانيم با تعريفي، هر ميدان غير چرخشي را بدون تغيير كرل به H بيافزائيم. اگر اين ميدان افزوده شده داري مولفه اي در جهت كرل باشد آنگاه كرل ميدان مركب بر ميدان مركب عمود نيست!.
در ادامه اين مطلب روشن تر خواهد شد...
| 
Pspice Shematic
