|
مقدمه
يكي از راههاي مصور سازي توزيع ميدان، خطوط ميدان هستند.
يك خط ميدان از يك نقطه مشخص r از طريق زير ساخته مي شود:
در نقطه ي r، ميدان برداري يك جهت ويژه دارد. از نقطه ي r در جهت بردار (A(r يك فاصله ديفرانسيلي dr پيش برويد. در نقطه جديد r+dr، بردار داراي جهت جديد (A(r+dr است. يك فاصله ديفرانسيلي 'dr در امتداد اين جهت جديد (ديفرانسيل متفاوت) پيش برويد، و به همين ترتيب تا چهار بار در شكل زير نشان داده شده است. با اين رويه يك خط ميدان ترسيم مي شود. مماس بر خط ميدان، در هر يك نقاط آن، جهت ميدان برداري (A(r را در آن نقطه مي دهد.
 ساخت خط ميدان
دامنه (A(r نيز در يك راه تا حدي دشوار با استفاده از خطوط ميدان قابل نمايش است. راه حل ساده براي اين كار اين است كه خطوط ميدان رسم شده به طور عمود بر خط ميدان در يك نقطه r از يك عنصر مساحت، متناسب با دامنه (A(r در آن نقطه باشد.
اگر ميدان ديورژانس نداشته باشد، به آن ميدان سلونوئيدي گفته مي شود. اگر كرل نداشته باشد، به آن ميدان غيرچرخشي گفته مي شود. اين مهم است كه مفهوم ميدانهاي سلونوئيدي و ميدانهاي غيرچرخشي را بيان كنيم. ما طبيعت ميدانهاي غيرچرخشي را در مثالهاي زير بحث خواهيم كرد. مدل خطي ميدان سلونوئيدي را فرض كنيد.
يكي از آنها با دو سمت تشكيل شده از خطوط ميدان مجاور (يك عنصر استوانه اي از خطوط) در شكل زير رسم شده است، كه با وجوه انتهائي عبوري از دو انتهاي عنصر محدوده بندي شده است. سپس از آنجاييكه يك ميدان سلونوئيدي هيچ شار خالص خروجي از اين عنصر ندارد، همان تعداد خطوط ميدان كه وارد يكي از سطوح انتهائي مي شوند، برابر تعداد خطوطي است كه از ديگر سطح خارج مي شوند. از آنجا كه اين عنصر حجمي به طور اختياري در نظر گرفته شده است، نتيجه مي گيريم كه يك ميدان سلونوئيدي با خطوطي پيوسته نمايش داده مي شود؛ آنها داخل ناحيه نه غيب مي شوند و نه پديدار مي گردند زيرا "سلونوئيدي" هستند.
 خطوط ميدان سلونوئيدي از عنصر حجمي كه در آن خطوط نه آغاز مي شوند و نه تمام مي شوند.
مثالهاي زير ترقي ميدان را با داشتن مشخصه هاي خطوط ميدان متناسب با ديورژانس و كرل توسعه مي دهند.
مثال اول: ميدانهايي كه ديورژانس دارند ولي كرل ندارند. (غير چرخشي و غير سلونوئيدي)
ناحيه ي كروي r يك چگالي بار را نگه مي دارد. ناحيه واقع در سطح خارجي، خالي از بار است. چگالي ميدان الكتريكي متقارن شعاعي كه از قوانين انتگرالي بدست مي آيد:
در مختصات كروي، عملگر ديورژانس به اين صورت است:
بنابراين قانون ديفرانسيلي گوس بدين صورت بدست مي دهد:
كه البته با توزيع بار استفاده شده در مشتق گيري اصلي سازگار است. اين تمرين براي تأكيد بر اين موضوع ارائه شد كه قوانين ديفرانسيلي در تمامي ناحيه به طور نقطه به نقطه اعمال مي شوند.
خطوط ميدان مي توانند به شكل زير ترسيم شوند. دامنه ي چگالي بار، با چگالي نمادهاي + يا - نمايش داده شده اند.
 ميداني با تقارن كروي كه غير چرخشي است. عناصر حجمي Va و Vc توسط تئوري گوس بكار گرفته شده اند تا نشان دهند چرا ميدان در خارج كره سلونوئيدي است ولي درون كره داراي ديورژانس است. عناصر سطحي Sb و Sd توسط تئوري استوكس بكار گرفته گرفته شده اند تا نشان دهند چرا ميدان در همه جا غير چرخشي است.
ميدان در كجاي اين شكل داراي ديورژانس است؟ از آنجا كه چگالي بار در شكل رسم شده، ما هم اكنون جواب اين سوال را مي دانيم. از آنجا كه فشردگي ميدان با افزايش شعاع در ناحيه خارجي كاهش مي يابد، پس ميدان در هر نقطه داده شده در اين ناحيه هيچ ديورژانسي ندارد. اين ميدان با شار E از ميان عنصري كه به عنوان حجم Va تعريف شده، نمايانده مي شود. در واقع ميدان با شعاع كاهش مي يابد، ولي سطح مقطع عنصر بگونه اي افزايش مي يابد تا شار خالص دقيقاً جبران شده و ثابت باقي بماند.
در ناحيه داخلي، يك عنصر حجمي با شكل استوانه اي كه جوانب آن موازي ميدان شعاعي است نيز قابل فرض است، حجم Vc را ببينيد. اينكه ميدان سلونوئيدي نيست مشهود است، از اين حقيقت كه چگالي آن روي قسمتي كه عنصر حجمي كمترين سطح مقطع را دارد داراي كمترين مقدار است. اينكه بايد يك شار خالص به سمت خارج وجود داشته باشد از شار خالص احاطه شده مشهود است. خطوط ميدان از داخل حجمي سرچشمه مي گيرند كه باري را محاط كرده باشد. آيا خطوط ميدان در شكل فوق غير چرخشي هستند؟ كرل در مختصات كروي به شكل زير است:
و با جايگذاري ميدان E با رابطه بيان شده، نشان مي دهد كه هم در داخل و هم در بيرون هيچ كرلي موجود نيست. اين نتيجه با محاسبه مسير گردش E براي مسيرهاي در برگيرنده مساحتهايي كه داراي عمود هائي بر هر يك از جهت هاي مختصات دارند، تأييد مي شود. مسيرهاي در برگيرنده ي سطوح Sb و Sd در شكل مثالهائي از اين گونه اند.
سهم قسمت هاي "C و "'C ناديده گرفته مي شود زيرا بر E عمودند (چون E مستقل از Ө و Ф است) و سهم قسمت 'C سهم قسمت مقابلش را حذف مي كند.
|